MathJax.Hub.Config({
TeX: { equationNumbers: { autoNumber: «AMS» } }
});
Данную статью стоит рассматривать в качестве некоторой попытки продолжения выдающейся статьи Г. Петарда «К математической теории охоты» [1]. Здесь мы также простоты ради ограничимся рассмотрением только охоты на львов (Fells leo), живущих в пустыне Сахара. Однако в то время как статья Петарда была посвящена непосредственной поимке львов, данная статья в большей степени посвящена нахождению львов. Кроме того, в исходной статье процесс охоты был рассмотрен с точки зрения математики и физики, мы же хотели бы рассмотреть этот процесс с точки зрения экономики.
Методы математической экономики
Метод экономической теории
Предположим, что львы ведут себя рационально и выбирают свои места в пустыне исходя из своих предпочтений в соответствии с принципом максимальной полезности. Предположим также, что охотники на львов также действуют рационально и располагаются в пустыне в соответствии со своими общими издержками TC на передвижение VC и расположение FC. Кроме того, будем рассматривать ситуацию только совершенной пустыни, в которой действует бесконечное число охотников, способных отстреливать львов лишь одним и тем же идентичным способом. Тогда охотники будут предлагать львам отстрел в соответствии со своими функциями предельных издержек MC и никак иначе. Эти функции будут формировать соответствующие функции предложений каждого охотника, складывающиеся в свою очередь в функцию отраслевого предложения S, а львы (количество которых также бесконечно, в связи с чем ни один лев не может оказать влияние на ситуацию в пустыне) будут формировать функцию отраслевого спроса D на отстрел в соответствии с функцией полезности каждого льва отдельного. Тогда в пустыне будет существовать точка равновесия, в которой охотники будут предлагать львам совершить определённое количество выстрелов по определённой цене. Данное равновесие будет устойчивым по Парето, так как ни одному из львов не будет выгодно приобретать выстрелы по цене большей, установившейся в пустыне, и в свою очередь ни один из охотников не согласится выстрелить по цене, меньше рыночной. В такой ситуации нахождение и отстрел львов будет происходить сам собой в соответствии с законом свободной рыночной экономики исходя из рыночного равновесия.
Метод экономической динамики
Предположим, что пустыня Сахара обнесена по всему периметру кирпичными стенами. Предположим также, что численность львов в пустыне растёт в соответствии с формулой: \(L_{t+1}=(1+\nu)L_t\), где \(\nu\) — темп прироста львов, \(L_t\) — количество львов на наблюдении t. Предположим также, что песок в пустыне Сахара, заносимый ветром через стены и вымываемый водами, описывается уравнением: \(K_{t+1} = (1-\mu)K_t +I_t\) , где \(K_t\) — количество песка в пустыне на наблюдении t, \(\mu\) — доля вымываемого песка, \(I_t\) — сила ветра. Предположим также, что наша система замкнута и никакие внешние факторы на неё не оказывают влияние. Экосистема пустыни \(Y_t\) может быть в таком случае описана некоторой математической функцией. Относительно этой функции сделаем стандартные предположения: она должна быть неотрицательной, монотонно возрастающей по каждому аргументу, вогнута и линейно однородна (отдача от масштаба постоянна). Лучше всего этим предположениям удовлетворяет функция Кобба-Дугласа: \(Y_t = AK_t^\alpha L_t^{1-\alpha}\). В свою очередь экосистема может быть разложена на ветер и воду (остальными элементами можно пренебречь): \(Y_t = I_t + C_t\) , где \(C_t\) — объём воды, а сила ветра может быть найдена через норму ветрености, по Солоу [2]: \(I_t = \rho Y_t\). Стоит отметить, что все коэффициенты построенной модели имеют интуитивно понятный экономический смысл, и, соответственно, результаты могут быть легко интерпретированы.
Лемма. В замкнутой пустыне, с экзогенно заданными долей вымываемого песка, темпом прироста львов и нормой ветрености, экосистема будет всегда сходится к сбалансированной траектории.
Доказательство леммы в статье не приводится в виду её тривиальности. Читатель и сам может без проблем её доказать.
В соответствии с леммой видно, что в полученной модели пустынной динамики при заданных значениях коэффициентов \(\mu, \nu, \rho, \alpha\) и \(А\) экосистема пустыни будет сходиться к траектории, в которой Сахара будет полностью заполнена львами и песком. В такой ситуации львы будут беспомощны.
Методы Эконометрии
Метод средних величин
Предположим, что львы распределены по пустыне случайным образом в соответствии с нормальным законом распределения. Как известно наилучшей оценкой математического ожидания M(X) при нормальном распределении является средняя арифметическая. Соответственно всё, что нужно сделать — это найти середину пустыни. Львы будут в таком случае лежать в доверительном интервале: \(\text{M}(X) -t_\alpha \sigma < Y < \text{M}(X) +t_\alpha \sigma \), где \(t_\alpha\) — t-статистика Стьюдента, а \(\sigma\) — среднеквадратичное отклонение львов от середины пустыни. Поимка льва в таком случае не составляет особых проблем.
Метод наименьших квадратов
Предположим, что пустыня Сахара представляет собой плоскость с осями координат ox и oy, проходящими с юга на север и с запада на восток соответственно. Расположение львов в пустыне в таком случае может быть описано некоторой математической функцией \(\hat{y}_t = f(x_t)\). Для простоты будем предполагать, что львы генерируются в соответствии с линейной функцией \(\hat{y}_t = a x_t + b\), так как к случаю с линейной функцией легко сводятся любые другие ситуации (либо методом подстановки, либо путём линеаризации). Предположим, что ошибка в нашей модели носит случайный характер и распределена в соответствии с нормальным законом распределения вероятностей, то есть координата льва может быть найдена по нашей модели в соответствии с: \(y_t = a x_t + b + \epsilon_t\), где \(\epsilon_t \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)\). В таком случае расстояние льва k от прямой линии, прочерченной через всю пустыню будет равно: \(y_k — \hat{y}_k\). Для того, чтобы избавится от минусов, возведём все отклонения координат львов от нашей прямой в квадрат, после чего просуммируем их по t. Получим: \(\sum_t^T (y_t -\hat{y}_t)^2\). Теперь для того, чтобы прямая линия прошла как можно ближе ко львам, нужно минимизировать полученную сумму квадратов отклонений изменяя параметры модели. Выведем систему нормальных уравнений, после чего (опуская промежуточные вычисления) получим формулы для нахождения коэффициентов a и b:
\(a = \frac{\text{cov}(y_t, x_t)}{\text{D}(x_t)}\),
\(b = \bar{y} -a \bar{x}\),
где \(\text{cov}(y_t, x_t)\) — коэффициент ковариации между переменными, \(\text{D}(x_t)\) — дисперсия переменной \(x_t\), \(\bar{y}\) — средняя переменной \(y_t\), \(\bar{x}\) — средняя переменной \(x_t\). Теперь зная коэффициенты линии регрессии, мы можем легко прочертить прямую через пустыню и спрогнозировать то, где будут находиться следующие львы после отстрела предыдущих.
Дадим интерпретацию найденным коэффициентам.
Коэффициент a характеризует предельный эффект и показывает, на сколько метров в среднем расположение львов по оси ординат изменится при изменении их расположения по оси абсцисс на 1 метр.
Коэффициент b показывает, на каком расстоянии от начала координат по оси ординат в среднем будут расположены львы, если расстояние от начала координат по оси абсцисс до львов равно нулю.
Теперь получив модель и дав понятную и простую интерпретацию её коэффициентам, можно проверить различные статистические гипотезы, если львы распределены нормально относительно нашей прямой линии. Например, можно проверить гипотезу о том, что коэффициент a равен некоторому числу c:
\(H_0: a-c = 0\),
\(H_1: a-c \neq 0\).
Если львы распределены нормально относительно прямой, то и коэффициент a будет распределён нормально, а значит следующее отношение будет распределено по Стьюденту:
\(\frac{a-c}{s.e.(a)} \sim t(\alpha, n-2)\).
Если расчётная статистика оказывается по модулю меньше критического значения, найденного из статистических таблиц, то нет оснований отвергнуть гипотезу о том, что коэффициент равен числу c.
Рассмотрим проверку такой гипотезы на условном примере. Пусть мы построили модель по 200 львам и получили коэффициент a равный 1,5 и его стандартную ошибку равную 3. Табличное значение t-статистики для нашего случая и 5% остаточной вероятности равно примерно 1,972. Проверим гипотезу о том, что a = 0:
\(\left| \frac{1.5-0}{3} \right| =0.5<1.972\). Значение меньше табличного, значит нет оснований отвергнуть гипотезу о том, что коэффициент равен нулю.
Проверим теперь гипотезу, например, о том, что a = 3:
\(\left| \frac{1.5-3}{3} \right| =0.5<1.972\). Значение так же меньше табличного, значит нет оснований отвергнуть гипотезу о том, что коэффициент равен 3.
В принципе, при таких значениях коэффициента и стандартной ошибки можно однозначно сказать, что коэффициент a в генеральной совокупности всех львов пустыни Сахара с вероятностью 95% лежит в пределах: \((1.5 -1.972 \cdot 3; 1.5 + 1.972 \cdot 3) = (-4.416, 7.416)\). Это говорит о том, что с движением на 1 метр вправо по оси абсцисс, львы с 95% вероятностью будут передвигаться по оси ординат в указанном выше интервале.
Данная модель имеет практическую значимость, так как может помочь сориентироваться на местности и понять, в какую сторону надо стрелять, передвигаясь по пустыне.
Методы исследования операций и теории систем
Метод Монте-Карло
Ограничим пустыню Сахара прямоугольником площадью \(S_{par}\). Набросаем в пустыню Сахара случайным образом N точек. Сосчитаем те точки, которые попали во львов. Пусть их количество равно K. Тогда львы могут быть найдены по формуле: \(S = S_{par} \frac{K}{N}\). Задача решена [3].
Метод теории игр
Рассмотрим ситуацию с двумя игроками: львами x и охотниками y. Предположим, что они ведут себя рационально и наша игра не кооперативная с полной информацией о стратегиях игроков. В самом простом случае можно построить платёжную матрицу размером два на два, в которой первой стратегии охотника соответствует «стрелять», второй — «не стрелять», а к стратегиям льва, соответственно относятся: «есть» охотника или «не есть». Предположим, что выигрыши от соответствующих стратегий могут быть представлены в следующей платёжной матрице:
| Охотники / Львы | «есть» | «не есть» |
| «стрелять» | 0, 0 | 5, -5 |
| «не стрелять» | -5, 5 | 0, 0 |
В данной платёжной матрице имеется седловая точка, в которой охотникам нужно стрелять, а львам — есть охотников. Причём данная ситуация будет оптимальной по Парето [4] и равновесной по Нэшу [5], так как отклонение от данной стратегии для любой стороны будет приводить только к ухудшению ситуации для данной стороны. В результате в пустыне Сахара львы будут жрать охотников, а те в свою очередь — отстреливать львов. Хотя, как видим, к такому же выигрышу стороны могли бы прийти и в случае с мирным решением данной задачи…
Метод финансовой математики
Рассчитаем, какими должны быть первоначальные инвестиции IC на снаряжение миссии на поимку львов в пустыне Сахара. Рассчитаем также какими будут доходы от поимки львов и расходы на покупку патронов и заработную плату охотников. Построим поток платежей и рассчитаем NPV и IRR данного инвестиционного проекта. Если NPV окажется положительным, то в общем случае при заданной нами процентной ставке проект будет прибыльным. Если же в портфеле проектов окажется какой-то с большим значением IRR, нежели проект охоты, то стоит инвестировать именно в этот проект и забыть об этой чёртовой пустыне Сахара и львах.
Список используемой литературы
- Петард Г. К математической теории охоты // Физики шутят. Под общей редакцией доктора Физ. мат. наук В.Турчина. Редактор Л.В.Гессен. — М.: Изд «МИР», 1966, стр.107.
- Solow R., A Contribution to the Theory of Economic Growth // Quarterly Journal of Economics № 70 (1), 1956, p.65—94.
- Rubinstein, R. Y.; Kroese, D. P. Simulation and the Monte Carlo Method (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons, 2007, p.15.
- Pareto L., Note sur les Alpes de la Ligurie, voisinage du col de Tende . Bulletin de la Société Géologique de France, ser.1a, 3, 1833, p. 188—191.
- Nash O. Good Intentions. VNU Business Media, Inc. 1942, p.124.